Compensation des effets des variations de température sur la marche d'une montre

La compensation des effets de la température sur la marche des montres a longtemps été un problème central sur lequel les horlogers se sont penchés, et ceci jusqu'au début du 20ème siècle, lorsque des matériaux nouveaux ont permis de résoudre ce problème de manière simple.

Cependant si l'on considère l'ensemble des effets des variations de température sur le système réglant, spiral+balancier, on se trouve face à un problème très complexe. En première approximation le système spiral+balancier est un oscillateur harmonique (voir encadré) qui subi des perturbations thermiques que l'on segmente généralement en deux catégories d'effets:

  • Effets directs: variation de l'élasticité du spiral, dilatation thermique du spiral, dilatation thermique du balancier
  • Effets indirects: variation de la puissance disponible à l'échappement, variation des frottements secs et visqueux

La compensation des effets directs a engendré une série de solutions ingénieuses, qui ont été appliquées avec plus ou moins de succès par les horlogers des siècles derniers. Voici quelques détails sur les variations effectives de la marche d'une montre non compensée ainsi qu'une revue des principales solutions apportées à ce problème.

Problème du spiral en acier

Si le mouvement est équipé d'un spiral et un balancier en acier, alors la montre retarde lorsque la température augmente et elle avance lorsque la température diminue. La raison principale est la variation d'élasticité (module de Young) du spiral, qui devient moins rigide lorsque la température augmente (cf graphique ci-dessous).


Evolution du module de Young du spiral acier en fonction de la température.

 

La variation du module de Young en fonction de la température est décrit à l'aide des coefficients thermo-élastiques. Si l'on considère des températures entre -30° et +50° on peut se restreindre à une approximation linéaire et on a la relation:

E(T) = E(T=0) + γ* ΔT

où E est le module de Young et γ le coefficient de dilatation thermique.

Dans le cas de l'acier qui nous concerne on a E(T=0) = 202 GPa et γ = -0.062 GPa/°C.

La période d'oscillation est donnée par la formule de base:

T = 2π (Jb Ls/Es Is) 1/2

où Jb est le moment d'inertie total du balancier et du spiral, Ls est la longueur active du spiral, Es est le module de Young du spiral et Is est le moment d'inertie quadratique de la section du spiral par rapport à l'axe neutre au centre de l'épaisseur ( Is = e3 h / 12 pour une section rectangulaire d'épaisseur e et de hauteur h).

Un modification du module de Young engendre donc une modification de la période d'oscillation. En convertissant ces variations de période en retard par jour, on obtient le graphique montrant l'influence de la variation du module de Young sur la "marche diurne":

Variation de la marche diurne due à la dépendance du module d'élasticité à la température pour une spiral en acier. Avance/retard par rapport à la marche à 21°.

 

On constate que l'effet d'une variation de température sur le module d'élasticité du ressort spiral en acier a un impact très important sur la marche d'une montre. Un écart de +10° provoque un retard de plus de 2 minutes par jour pour un système balancier/spiral non compensé.

On comprend que les horlogers se sont toujours évertués à compenser cet effet de la température, en particulier pour le développement de chronomètres de marine destinés à déterminer la longitude en mer et dont la précision dépendra de la précision du chronomètre.

D'autres effets de la température sont de moindre importance et se compensent largement. Il s'agit de la dilatation du balancier, qui tend à rallentir la marche de la montre lorsque la température augmente, et la dilatation du spiral, qui tend à accélérer la marche de la montre.

L'accélération causée par la dilatation du spiral est plutôt contre-intuitive. Elle provient du fait que la rigidité du spiral augmente sous l'influence de la variation de la section du spiral qui intervient à la puissance trois dans le calcul de Is (le moment d'inertie quadratique de la section), tandis que la variation de longueur Ls intervient de manière liéaire pour modérer cette accélération.

 

Lame de compensation bimétallique de John Harrison

La première solution conrète pour corriger l'effet de la température sur la marche de la montre est l'oeuvre de John Harrison. L'horloger britannique autodidacte a développé un dispositif qui agit sur la modification de la longueur du spiral en fonction de la température. Pour se faire, il utilise une lame bimétallique (cuivre/acier) pour ajuster la fin de la partie active du spiral grâce à des chevilles qui maintiennent le spiral en son extrémité extérieure, proche du piton.

La courbure qu'une modification de température provoque sur le bilame (utiisé parfois comme thermomètre) agit sur la longueur du ressort spiral. Un spiral plus long sera moins rigide et entraînera un retard, compensant ainsi l'effet accélérateur d'une baisse de température. A l'inverse, un spiral plus court sera plus rigide et entraînera une avance compensant l'effet de retard d'une baisse de température.

Le réglage de ce type de spiral est très difficile et nécessite la patience dont ont fait preuve John Harrison ainsi que son successeur Thomas Mudge.

Dispositif bilame imaginé par John Harrison afin de compenser les effets de la température sur son chronomètre H4, explication publiés en 1767 par le Bureau des Longitudes.



Oscillateur harmonique

Un oscillateur harmonique est un système dont la dynamique est régie par l'action d'une force ou d'un couple proportionnel au déplacement. Si l'on néglige les frottements secs et visqueux, le système spiral+balancier est un oscillateur harmonique, le couple de rappel est proportionnel à l'amplitude de la rotation par rapport à la position d'équilibre:

M = - kΔΘ

M représente le couple, k la rigidité angulaire et ΔΘ la variation angulaire par rapport à la position d'équilibre.

L'équation du mouvement est alors:

-kΔΘ = Jtot α

Jtot est l'inertie du système spiral+balancier (l'inertie du spiral est généralement faible par rapport à celle du balancier).

La période d'oscillation est donnée par:

T = 2pi sqrt(Jtot/k)

Ainsi une plus grande inertie du balancier permet d'augmenter la période d'oscillation, tandis qu'une plus grande rigidité du ressort diminue la période d'oscillation.

 





Balancier compensateur

Pierre LeRoy et John Arnold sont les principaux instigateurs de cette méthode de compensation qui a eu les faveurs des horlogers pendant de nombreuses décennies, il s'agit du balancier bimétallique. Le but est de modifier l'inertie du balancier lorsque la température varie afin de compenser les variations de la rigidité du spiral acier.

A l'instar de John Harrison qui concentrait ses efforts sur la variation de longueur active du spiral, John Arnold c'est focalisé sur la variation de l'inertie du balancer grâce à des montages ingénieux, alliant bilames et masses compensatrices.

Parmi les premières solutions proposées par Arnold on retrouve en particulier le balancier avec deux bilames en forme de "s", avant de voir le balancier avec masses compensatrices placées sur un deuxième diamètre.

Différents systèmes bilames/masses compensatrices proposés par John Arnold

 

La variante qui s'est imposée par la suite est réalisée à l'aide de deux demi-serges de balancier, constitués de bilames soudés sur toute leur longueur. Ces bilames sont généralement composés d'acier à l'intérieur et de laiton sur l'extérieur. De plus ils sont munis de vis (masses compensatrices) réparties symétriquement, permettant aux horlogers régleurs de réaiser le meilleur isochronisme sur chaque système réglant.

 

Balancier bimétallique dont les demi-serges se sont partiellement refermées sous l'effet d'une augmentation de température.

 

La serge est scindée en deux demi-serges qui vont se déformer en fonction de la température et modifier le rayon moyen de la serge grâce à une dilatation thermique différente dans l'acier et le laiton. Ces variations de géométrie et de répartition de la masse sont ajustées afin de compenser exactement l'effet thermo-élastique sur le spiral par une variation de l'inertie totale.

Les horlogers qui ont travaillé sur cette méthode de compensation, en particulier Ferdiand Berthoud, ont constaté que l'exactitude de la marche de la montre ne pouvait se faire que pour deux températures T1 et T2 que l'on pouvait choisir afin d'adapter le réglage en conséquence. Pour les températures intermédiaires la montre avance. Pour les températures plus petites que T1 ou plus grandes que T2, la montre retarde. Ce phénomène est appelé "erreur secondaire" (voir encadré) ou "anomalie de Dent", car il a été étudié en détail par Edward John Dent à Londres au milieu du XIXème siècle.


Erreur secondaire ou Anomalie de John Edward Dent

Charles-Edouard Guillaume propose la représentation graphique ci-dessous pour expliciter l'erreur secondaire dont souffrent les montres équipées de balanciers bilames pour compenser les variations de température.

L'effet de la température sur la dilatation de chacune des deux lames d'un balancier bilame standard, acier et laiton, est quadratique. Cependant l'effet global sur le bilame dépend de la différence entre les lames, en première approximation le terme quadratique s'annule. Il reste le coefficient linéaire tendant à accélérer la marche de la montre ("influence du balancier").

Le spiral, quant à lui, voit son module d'élasticité diminuer avec une augmentation de tempéraure selon une loi quadratique. Cette variation du module d'élasticité tend à rallentire la marche de la montre.

En sommant les effets sur le balancer et le spiral on obtient la courbe de l'effet global de la température, qui est nulle en deux points seulement et présente une "erreur secondaire" pour toutes les autres températures.

L'horloger londonnien John Edward Dent s'est adonné à l'étude de ce phénomène que l'on appelle parfois "anomalie de Dent".

 





Alliages invariables

Anomalie de la dilatation thermique des alliages fer/nickel

Au Bureau International des Poids et Mesures (BIPM) à Sèvre près de Paris, Charles-Edouard Guillaume (voir encadré) est en charge de trouver une alternative pour les règles-étalons de second ordre (d'usage courant dans les laboratoires et dans l'industrie). Ces étalons étaient alors fabriqués dans un alliage de platine/iridium développé par Henri Sainte-Claire-Deville et qui avait l'avantage d'une grande dureté, de résister aux agressions chimiques et de présenter un faible coefficient de dilatation thermique. Cependant le platine/iridium (appelé aussi platine iridié) était cher et très rare, et ne pouvait pas raisonnablement servir de standard pour fournir les laboratoires et l'industrie du monde entier en mètres étalons.

En étudiant les travaux de John Hopkinson, physicien anglais spécialiste du magnétisme, ainsi que ceux de J.R. Benoît, directeur du BIPM, il découvre la famille des alliages constitués de fer et de nickel. Ces alliages présentent des anomalies intéressantes au niveau de leur coefficient de dilatation thermique.

Les fonderies Commentry-Fourchambault & Decazeville fournissent alors une barre fer 60% - nickel 30% au BIPM qui permet à Charles-Edouard Guillaume de constater un coefficient de dilatation thermique environ 4 fois plus faible que celui du fer ou du nickel. Avec le soutien des fonderies Commentry-Fourchambault & Decazeville et de son directeur Henri Fayol qui lui fournit plus de 600 variations de l'alliage Fer/Nickel, il teste alors une large palette d'échantillons contenant diverses proportions de nickel.

Pour chaque alliage il mesure le coefficient de dilatation thermique à diférentes températures grâce à un bain d'huile monté sur une chaudière. Il détermine ansi des relations linéaires donnant pour chaque concentration de nickel le coeficient de dilatation:

α = a + b T

En 1897 il publie un article montrant en particulier que l'alliage comprenant 36% de Nickel possède le coefficient de dilatation le plus faible, largement inférieur à celui du platine iridié (voir graphique ci-dessous). Cet alliage sera nommé Invar par Marc Thury (ingénieur et professeur originaire de Nyon) et il aura des applications immédiates dans la métrologie ainsi que pour la confection de balanciers de pendules.

Etude de Charles-Edouard Guillaume sur l'anomalie de dilatation des aciers au nickel (Guillaume, 1898) [Graphique: www.numeritec.ch]

 

Applications de l'anomalie de dilatation en horlogerie

Dans sa publication de 1904, "Les applications des aciers au nickel", Charles-Edouard Guillaume liste trois domaines principaux d'utilisation de l'Invar en horlogerie: la tige du balancier de pendule, le balancier de montre, le ressort spiral.

Tige de balancier pour pendule - Guillaume présente une solution utilisant l'invar pour la tige de balancier. La faible dilatation vers le bas de la tige est compensée par la dilatation vers le haut de la lentille grâce à sa fixation en son point bas. Le professeur Thury propose et teste dans les locaux de la Société Genevoise de Physique une construction légèrement différente en ce sens que la lentille est fixée à la tige à l'aide d'une vis de réglage.

Balanciers de pendule avec tige en invar, proposés par Guillaume (gauche) et Thury (droite).

Guillaume calcule les écarts possibles pour ces deux solutions. Avec le système réglable, qui permet d'ajuster individuellement chaque pendule, il donne une précision de 0,004 secondes par degré et par jour. Sans le système de compensation, en ajustant la construction sur des propriétés moyennes des lots d'invar, la précision prévue est de 0,02 secondes par degré et par jour, ce qu'il estime être largement suffisent pour la plupart des pendules et pour un coût de réalisation très bas.

Balancier compensateur - Comme nous l'avons mentionné précédemment, les balanciers bilames acier/laiton ne permettaient pas de corriger l'erreur secondaire. Chalres-Edouard Guillaume a alors étudié la source de l'erreur secondaire et il a proposé une solution en remplaçant la lame d'acier par une lame d'alliage Fer/Nickel judicieusement choisie. Son étude a été publiée dans le Journal Suisse d'Horlogerie en 1899 et elle a suscité l'intérêt de Mr. Nardin au Locle et Mr. Paul Ditisheim à la Chaux-de-Fonds. Tous deux ont souhaité tester ce balancier proposé par Guillaume et c'est Mrs. Ferrier et Vaucher à Travers qui ont réalisé ce balancier.

Les résultats se sont avérés excellents et les systèmes munis du balancier Guillaume - appelé aussi balancier intégral - ont montré une précision dans la compensation des températures inégalée à l'époque.

Spiral - L'exploitation de l'anomalie de dilatation des aciers au nickel pour la fabrication du ressort spiral n'a que peu d'intérêt, en effet la principale source d'erreur n'est pas la dilatation du spiral mais la variation de son module d'élasticité en fonction de la température. Ainsi c'est une autre anomalie qui trouvera un application pour le spiral, l'anomalie d'élasticité.

Anomalie du module d'élasticité des aciers au nickel

En 1897, le professeur Thury donne une conférence à la classe d'Horlogerie de l'Ecole des Arts de Genève, au cours de laquelle il évoque le fait qu'un acier contenant 36% de nickel (invar) présente un module de Young qui augmente avec la température. Cette caractéristique est contraire au comportement usuel du module d'élasticité qui, généralement, diminue lorsque la température augmente. Charles-Edouard Guillaume, qui avait confié à un régleur de la Chaux-de-Fonds, Mr. Paul Perret, un spiral en acier fer/nickel 36%, avait obtenu la confirmation de l'anomalie du module de Young par les essais de ce dernier.

Applications de l'anomalie d'élasticité en horlogerie

En collaboration avec Mr. Perret et les fonderies de Commentry-Fourchambault & Decazeville, Charles-Edouard Guillaume dirige alors une étude dont le but est de découvrir un alliage dont le module de Young serait indépendant de la température.

Dans sa publication de 1904, "Les Applications des Aciers au Nickel", Charles-Edouard Guillaume est bref et plutôt mitigé sur l'utilisation d'un alliage au nickel pour la fabrication du ressort spiral. Or, dans le cas de ce composant, la principale perturbation sur la fréquence d'oscillation du système balancier/spiral provient de la variation du module d'élasticité du spiral. Il identifie deux concentrations de nickel qui permettent de produire un alliage dont la variation du module d'élasticité dans une large plage de température est très faible. Il s'agit des variantes à 28% de nickel ainsi que celle à 42% de nickel (cf graphique).

Variation du module de Young (dE/dT) pour différents aciers au nickel (Guillaume, 1904) [Graphique: www.numeritec.ch]

 

La variante à 42% de nickel présente un inconvénient. Son module d'élasticité est certes quasi-constant, mais il a une valeur basse. Même si, en théorie, le fonctionnement d'un ressort spiral ne s'en trouverait pas altéré, Guillaumes craint des problèmes lors de la manipulation de ces ressorts à faible rigidité et il écarte cette solution.

La variante à 28% de nickel a un module de Young presque constant et sa valeur est plus élevée, c'est un meilleur candidat pour la fabrication des spiraux. Cependant l'erreur secondaire reste importante et d'un point de vue pratique la forte variabilité du module de Young pour des compositions voisines de 28% nickel rendent son utilisation peu intéressante aux yeux de Charles-Edouard Guillaume. Les variations de qualité des lots d'alliage ainsi que les inhomogénéités au sein d'un lot limitent le potentiel correcteur pour ce matériau. Charles-Edouard Guillaume n'y voit d'intérêt que pour les montres bon marché qui ne sont de toute façon pas équipées de balanciers compensateurs, l'écart sur la marche diurne entre 0° et 30° passe de ~6 minutes pour un spiral acier à ~0,5 minute pour un spiral en élinvar. De plus ces aciers au nickel ont une très faible sensibilité aux champs magnétiques, ce qui était un argument que l'on commençait à considérer.

Alliages ternaires

L'ajout d'un troisième composant tel que le manganèse, le chrome, le carbone, etc..., confère à l'alliage des propriétés physico-chimiques qui peuvent servir pour différentes applications pratiques. Le manganèse permet entre autre de faciliter l'utilisation en fonderie, tandis que l'ajout de chrome ou de carbone augmente la limite élastique et s'avère intéressant pour la fabrication de ressorts.

Charles-Edouard Guillame se consacre en particulier à la recherche d'un alliage dont le module élastique serait suffisemment élevé, peu sensible aux inhomogénéités de composition et dont la variation avec la température serait nulle. Dors et déjà il nomme ce futur alliage élinvar pour souligner sa caractéristique principale: son "élasticité invariable".

L'ajout de chrome a non seulement pour effet d'augmenter le module de Young, mais il diminue l'anomalie d'élasticité. En choisissant une proportion de 12% de chrome, le pic d'anomalie dE/dT (cf figure ci-dessus) ne coupe plus le plan "zéro" en deux lignes mais il en devient tangent en son sommet. Ainsi les inhomogénéités de l'alliage n'ont qu'un faible impact sur les caractéristiques "invariables" du matériau.

Le composé Fe58%, Ni36% et Cr12% devient le premier élinvar défini par Guillaume.

Cet alliage a encore été amélioré par les fabricants qui ont ajouté divers composants à durcissement structural (tungstène, béryllium, molybdène,...), donnant les actuels nivarox, métélinvar, durinval, isoval etc...

Ces spiraux auto-compensateur sont utilisés avec des balanciers monométalliques qui sont eux-même stables par rapport aux variations de température. Le matériau le plus répendu aujourd'hui pour le balancier est probablement le glucydur (cf encadré).

 

Balancier à affixes compensateurs

Ce système imaginé par Paul Ditisheim conciste à fixer sur la serge du balancier monométallique deux petits bilames équipés de masses compensatrices que l'on peut déplacer afin de régler l'effet correcteur. Dans la variante Daniels les affixes sont fixés sur les bras du balancier. Ces affixes ne permettent que de faibles compensations, mais ils rendent aux régleurs la possibilité d'ajuster très précisément la marche d'une montre équipée d'un spiral en élinvar et supprimer les erreurs résiduelles.


Balancier à affixes compensateurs Ditisheim

 

Autres systèmes compensateurs

D'autres systèmes de compensations ont été imaginés par la suite, tels que le balancier différentiel coupé ou le balancier différentiel simple. Ces systèmes utilisent des matériaux diférents pour les bras et la serge du balancier, d'où une différence de coefficient de dilatation qui génère des déformations - ovalisations - que l'on peut ajuster pour compenser l'effet thermique sur le spiral.

Mentionnons également le balancier à serge anisotrope développé par R. Straumann. On obtient une anisotropie du coefficient de dilatation de la serge par laminage. Comme pour le balancier différentiel la conséquence est une ovalisation du balancier lors d'une augmentation de température.


Charles-Edouard Guillaume (1861-1938)

Fils d'horloger, Charles-Edouard Guillaume est un physicien suisse qui a grandi à Fleurier dans le Val de Travers. Il a étudié à l'Ecole polytechnique de Zürich avant de se rendre en France où, en 1883, il obtient un poste au prestigieux Bureau International des Poids et Mesures (BIPM) à Sèvre près de Paris. Il étudie en particulier l'anomalie de dilatation des aciers au nickel et met ainsi en évidence un alliage, nommé Invar, dont le coefficient de dilatation est quasi nul dans une large plage de températures.

En 1904, sa notoriété croissante le pousse vers l'enseignement à la Faculté des Sciences de l'université de Genève. Il sera directeur du BIPM dès 1914 et jusqu'à sa retraite en 1937.

Sa connaissance du monde horloger et des problématiques liées à la précision d'une montre mène Charles-Edouard Guillaume à poursuivre ses recherches sur les alliages fer/nickel. En effet il se souvient des observations de son père qui relevait que la bonne marche d'une montre sous différentes températures dépendait non seulement de la longueur du ressort spiral mais également de son élasticité.

Dès 1912 Charles-Edouard Guillaume poursuit ses recherches en ajoutant un troisième constituant au fer/nickel. Il teste ainsi l'ajout de carbone, chrome, silicium, cobalt, manganèse et pratiques différents traitements sur les matériaux. En 1912 il crée l'Elinvar pour "élasticité invariable", qui devient avec ses variantes ultérieures (Nivarox, Métélinvar, Isoval) l'alliage de base pour la confection de spiraux en horlogerie. Comme son nom l'indique, cet alliage a non seulement une dilatation très faible sur une large plage de température mais également un module de Young qui reste quasi-constant.

La découverte de l'Invar vaut à Charles-Edouard Guillaume le prestigieux Prix Nobel en 1920.

 



Glucydur

Le glucydur est un alliage de cuivre et de fer contenant environ 3% de béryllium et 0,5% de nickel. Il a des propriétés mécaniques intéressantes puisque son coefficient de dilatation thermique est très faible, il est très dur, amagnétique et résiste à la corrosion. Il se présente sous une couleur dorée.

Son nom vient de "glucinium" (ancien nom du béryllium) et "dur". Il a été développé à la même époque que le Nivarox et on l'utilise aujourd'hui en particulier pour les balanciers monométalliques.

 





Cet article fait partie du Dossier consacré au "Système réglant" préparé en collaboration avec Numeritec.ch.

Dossier: système réglant

 



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